Mathc initiation/a528

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La transformée de Laplace d'une dérivée[modifier le wikicode]


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  F(t)        L{F'(t)} = (s) f(s) - F(0+)                   ?                                
         
  sin(t)            (s) 1/(s^2+1) - F(0+)          s/(s^2+1) - F(0+)                                           
  cos(t)            (s) s/(s^2+1) - F(0+)        s^2/(s^2+1) - F(0+)                                              
          
  sinh(t)           (s) 1/(s^2-1) - F(0+)          s/(s^2-1  - F(0+)                                               
  cosh(t)           (s) s/(s^2-1) - F(0+)        s^2/(s^2-1) - F(0+)                                          
                  
  exp(t)            (s) 1/(s-1)   - F(0+)          s/(s-1)   - F(0+) 
Les fonctions :
Je vous propose de remplacer le nom du fichier fb.h par fc.h ... fj.h dans les fichiers c00a.c et c00b.c pour tester les exemples b, c ... j

La transformée de Laplace d'une dérivée

Présentation du problème :  

* Soit  F(t) une fonction, et soit f(s) sa transformée de Laplace :
              /+oo
             |
   L{F(t)} = |  exp(-s t) F(t) dt = f(s)
             |
             /0
* Une propriété de la transformée de Laplace nous permet d'écrire :
                                          
           L{F'(t)} = s * f(s) - F(0)                            
             
* c00a.c

* Nous obtenons donc :
              /+oo
             |                              
             |  exp(-s t) [F'(t)] dt = s * f(s) - F(0)
             |                              
             /0
* c00b.c
              
  • Conclusion :
Si nous connaissons f(s), la transformée de Laplace d'une fonction F, 
si nous souhaitons connaitre la transformée de Laplace de sa dérivée, il suffit de multiplier f(s) par s et de soustraire F(0).